reduce-historical/r35/xlog/groebner.log

Codemist Standard Lisp 3.54 for DEC Alpha: May 23 1994
Dump file created: Mon May 23 10:39:11 1994
REDUCE 3.5, 15-Oct-93 ...
Memory allocation: 6023424 bytes

+++ About to read file ndotest.red


%Examples of use of Groebner code.

% Example 1, Linz 85.

groebner({q1,

          q2**2 + q3**2 + q4**2,

          q4*q3*q2,

          q3**2*q2**2 + q4**2*q2**2 + q4**2*q3**2,

          q6**2 + 1/3*q5**2,

          q6**3 - q5**2*q6,

          2*q2**2*q6 - q3**2*q6 - q4**2*q6 + q3**2*q5 - q4**2*q5,

          2*q2**2*q6**2 - q3**2*q6**2 - q4**2*q6**2 - 2*q3**2*q5*q6
          + 2*q4**2*q5*q6 - 2/3*q2**2*q5**2 + 1/3*q3**2*q5**2
          + 1/3*q4**2*q5**2,

          - q3**2*q2**2*q6 - q4**2*q2**2*q6 + 2*q4**2*q3**2*q6 -
          q3**2*q2**2*q5 + q4**2*q2**2*q5,

          - q3**2*q2**2*q6**2 - q4**2*q2**2*q6**2 + 2*q4**2*q3**2*q6**2
          + 2*q3**2*q2**2*q5*q6 - 2*q4**2*q2**2*q5*q6 + 1/3*q3**2*q2**2
          *q5**2 + 1/3*q4**2*q2**2*q5**2 - 2/3*q4**2*q3**2*q5**2,

          - 3*q3**2*q2**4*q5*q6**2 + 3*q4**2*q2**4*q5*q6**2
          + 3*q3**4*q2**2*q5*q6**2 - 3*q4**4*q2**2*q5*q6**2
          - 3*q4**2*q3**4*q5*q6**2 + 3*q4**4*q3**2*q5*q6**2
          + 1/3*q3**2*q2**4*q5**3 - 1/3*q4**2*q2**4*q5**3
          - 1/3*q3**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**2
            *q3**4*q5**3 - 1/3*q4**4*q3**2*q5**3},

         {q1,q2,q3,q4,q5,q6});


{q1,

   2     2     2
 q2  + q3  + q4 ,

 q2*q3*q4,

      4
 q2*q4 *q6,

      3             3
 q2*q4 *q5 + 3*q2*q4 *q6,

      3   2
 q2*q4 *q6 ,

   4     2   2     4
 q3  + q3 *q4  + q4 ,

   3           3
 q3 *q4 + q3*q4 ,

   2   2
 q3 *q4 *q6,

   2          2        2          2
 q3 *q5 - 3*q3 *q6 - q4 *q5 - 3*q4 *q6,

   2   2     2   2
 q3 *q6  + q4 *q6 ,

      4
 q3*q4 *q6,

      3
 q3*q4 *q5,

      3   2
 q3*q4 *q6 ,

   5
 q4 ,

   4        4
 q4 *q5 + q4 *q6,

   4   2
 q4 *q6 ,

   2           2   2
 q4 *q5*q6 - q4 *q6 ,

   2       2
 q5  + 3*q6 ,

   3
 q6 }



% Example 2. (Little) Trinks problem with 7 polynomials in 6 variables.

trinkspolys := {45*p + 35*s - 165*b - 36,

          35*p + 40*z + 25*t - 27*s,

          15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,

          - 9*w + 15*p*t + 20*z*s,

          w*p + 2*z*t - 11*b**3,

          99*w - 11*s*b + 3*b**2,

          b**2 + 33/50*b + 2673/10000};


trinkspolys := { - 165*b + 45*p + 35*s - 36,

                35*p - 27*s + 25*t + 40*z,

                        2
                 - 165*b  + 25*p*s - 18*t + 15*w + 30*z,

                15*p*t + 20*s*z - 9*w,

                       3
                 - 11*b  + p*w + 2*t*z,

                   2
                3*b  - 11*b*s + 99*w,

                        2
                 10000*b  + 6600*b + 2673
                --------------------------}
                          10000


trinksvars :=  {w,p,z,t,s,b};


trinksvars := {w,

               p,

               z,

               t,

               s,

               b}

groebner(trinkspolys,trinksvars);


{60000*w + 9500*b + 3969,

 1800*p - 3100*b - 1377,

 18000*z + 24500*b + 10287,

 750*t - 1850*b + 81,

 200*s - 500*b - 9,

        2
 10000*b  + 6600*b + 2673}

groesolve(trinkspolys,trinksvars);


      - 148*sqrt(11)*i - 461
{{t=-------------------------,
               500

     190*sqrt(11)*i - 139
  w=----------------------,
            10000

     490*sqrt(11)*i - 367
  z=----------------------,
             3000

      - 62*sqrt(11)*i + 59
  p=-----------------------,
              300

     3*( - 5*sqrt(11)*i - 13)
  s=--------------------------,
                50

     3*( - 4*sqrt(11)*i - 11)
  b=--------------------------},
               100

     148*sqrt(11)*i - 461
 {t=----------------------,
             500

      - 190*sqrt(11)*i - 139
  w=-------------------------,
              10000

      - 490*sqrt(11)*i - 367
  z=-------------------------,
              3000

     62*sqrt(11)*i + 59
  p=--------------------,
            300

     3*(5*sqrt(11)*i - 13)
  s=-----------------------,
              50

     3*(4*sqrt(11)*i - 11)
  b=-----------------------}}
              100

 


% Example 3. Hairer, Runge-Kutta 1, 6 polynomials 8 variables.
 
groebnerf({c2 - a21,
 
          c3 - a31 - a32,
 
          b1 + b2 + b3 - 1,
 
          b2*c2 + b3*c3 - 1/2,
 
          b2*c2**2 + b3*c3**2 - 1/3,
 
          b3*a32*c2 - 1/6},
 
         {c2,c3,b3,b2,b1,a21,a32,a31});


{{c2 - a21,

  c3 - a32 - a31,

  b3 + b2 + b1 - 1,

              2            2                            2    2
  96*b2*b1*a31  - 96*b2*a31  + 96*b2*a31 - 32*b2 - 72*b1 *a32 *a31

          2    2         2        2         2                2    3
   - 48*b1 *a32  - 144*b1 *a32*a31  - 144*b1 *a32*a31 - 72*b1 *a31

               2                2                 2
   + 198*b1*a32 *a31 + 60*b1*a32  + 396*b1*a32*a31  + 72*b1*a32*a31

                            3             2
   - 144*b1*a32 + 198*b1*a31  - 108*b1*a31  - 24*b1*a31

                                          2             2
   - 81*a21*a32*a31 + 54*a21*a32 - 126*a32 *a31 - 12*a32

                2                                 3          2
   - 252*a32*a31  + 126*a32*a31 + 36*a32 - 126*a31  + 162*a31

   - 30*a31 - 12,

                                2
  8*b2*a21 - 8*b2*a31 + 6*b1*a32  + 12*b1*a32*a31 + 4*b1*a32

             2                               2
   + 6*b1*a31  - 4*b1*a31 - 9*a21*a32 - 6*a32  - 12*a32*a31 + 8*a32

          2
   - 6*a31  + 10*a31 - 2,

                     2                                       2
  8*b2*a32 + 6*b1*a32  + 12*b1*a32*a31 + 12*b1*a32 + 6*b1*a31

                                 2                     2
   + 4*b1*a31 - 9*a21*a32 - 6*a32  - 12*a32*a31 - 6*a31  + 2*a31 + 2,

                          2                           2
  12*b1*a21*a32 - 6*b1*a32  - 12*b1*a32*a31 - 6*b1*a31  - 3*a21*a32

          2                             2
   + 6*a32  + 12*a32*a31 - 6*a32 + 6*a31  - 6*a31 + 2,

                         2                          2
  4*b1*a21*a31 + 2*b1*a32  + 4*b1*a32*a31 + 2*b1*a31  - 3*a21*a32

                              2                            2
   - 4*a21*a31 + 2*a21 - 2*a32  - 4*a32*a31 + 4*a32 - 2*a31  + 4*a31

   - 2,

          3            2                    2           3
  6*b1*a32  + 18*b1*a32 *a31 + 18*b1*a32*a31  + 6*b1*a31

              2                                    3         2
   - 9*a21*a32  - 9*a21*a32*a31 + 6*a21*a32 - 6*a32  - 18*a32 *a31

           2             2                             3        2
   + 12*a32  - 18*a32*a31  + 18*a32*a31 - 6*a32 - 6*a31  + 6*a31

   - 2*a31,

       2                                2                  2
  3*a21 *a32 - 3*a21*a32 - a21*a31 + a32  + 2*a32*a31 + a31 }}

 
 

% Example 4.
 
torder gradlex;


lex

 
g4 := 
groebner({b + e + f - 1,
 
         c + d + 2*e - 3,
 
         b + d + 2*f - 1,
 
         a - b - c - d - e - f,
 
         d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3,
 
         c*f - 587/15625*b*d});


                                                   5
g4 := {144534461790680056924571742971580442350868*f

                                                      4
        - 644899801559202566371326081182412388593750*f

                                                         2
        - 5642454222593591361522253644740080176968509*e*f

                                                       3
        + 1026970650200404602876625225711718032483739*f

        + 60671378319336814425425106786936647125250*e*f

                                                        2
        + 12135463840178290842421221291430776956948795*f

        + 82342665293813692270756265387326300721851*e

        - 6546572608747272255841866021042619274525791*f

        - 455593441982762135422235490670177670637,

                              3                        4
       8282838608877853969*e*f  - 2667985333760708531*f

                                2                        3
        - 315490964385538173*e*f  - 8319462093247392142*f

                                                   2
        - 25594942638053*e*f + 318993777538462620*f

        + 33851175608089*e + 34163367871142*f - 8568425233089,

            2                      2
       587*e  - 46875*e*f + 15038*f  - 587*e + 47462*f,

       a + 2*e - 4,

       b + e + f - 1,

       c + 3*e - f - 3,

       d - e + f}

 
hilbertpolynomial(g4,gvarslast);


8


%   gunivar(e,8,g4,gvarslast);

glexconvert(g4,gvarslast,newvars={e},maxdeg=8);


                         8                            7
{8724935291855297898986*e  - 82886885272625330040367*e

                              6                             5
  + 304980377204235125220384*e  - 524915947547338451201596*e

                              4                            3
  + 362375013966993813907616*e  + 52719473339686639067952*e

                              2
  - 154986762992209058701440*e  + 27347344067139574366944*e

  + 430203494102932512}


groebnerf({b + e + f - 1, 
  
         c + d + 2*e - 3, 
  
         b + d + 2*f - 1, 
  
         a - b - c - d - e - f, 
  
         d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3, 
  
         c*f - 587/15625*b*d});


                                              5
{{144534461790680056924571742971580442350868*f

                                                 4
   - 644899801559202566371326081182412388593750*f

                                                    2
   - 5642454222593591361522253644740080176968509*e*f

                                                  3
   + 1026970650200404602876625225711718032483739*f

   + 60671378319336814425425106786936647125250*e*f

                                                   2
   + 12135463840178290842421221291430776956948795*f

   + 82342665293813692270756265387326300721851*e

   - 6546572608747272255841866021042619274525791*f

   - 455593441982762135422235490670177670637,

                         3                        4
  8282838608877853969*e*f  - 2667985333760708531*f

                           2                        3
   - 315490964385538173*e*f  - 8319462093247392142*f

                                              2
   - 25594942638053*e*f + 318993777538462620*f  + 33851175608089*e

   + 34163367871142*f - 8568425233089,

       2                      2
  587*e  - 46875*e*f + 15038*f  - 587*e + 47462*f,

  a + 2*e - 4,

  b + e + f - 1,

  c + 3*e - f - 3,

  d - e + f}}



% Example 5.
 
groesolve({u0**2 - u0 + 2*u1**2 + 2*u2**2 + 2*u3**2,
 
          2*u0*u1 + 2*u1*u2 + 2*u2*u3 - u1,
 
          2*u0*u2 + u1**2 + 2*u1*u3 - u2,
 
          u0 + 2*u1 + 2*u2 + 2*u3 - 1},
 
         {u0,u2,u3,u1});


      1      1
{{u3=---,u0=---,u2=0,u1=0},
      3      3

 {u3=0,u0=1,u2=0,u1=0},

                    5             4             3            2
 {u3=( - 35588322*u1  + 7102080*u1  + 3462372*u1  - 522672*u1

       - 98665*u1 + 11905)/10987,

                 5              4              3             2
  u0=(85796172*u1  - 47481552*u1  - 10265256*u1  + 4828462*u1

       + 414200*u1 - 24707)/164805,

                  5              4              3             2
  u2=(490926744*u1  - 82790424*u1  - 46802952*u1  + 5425849*u1

       + 1108070*u1 - 83819)/164805,

                      6           5           4          3         2
  u1=root_of(24948*u1_  - 8424*u1_  - 1908*u1_  + 736*u1_  + 24*u1_

              - 18*u1_ + 1,u1_)}}

 
 

% Example 6. (Big) Trinks problem with 6 polynomials in 6 variables.
 
 torder lex;


gradlex

 
btbas :=
 groebner({45*p + 35*s - 165*b - 36,
 
           35*p + 40*z + 25*t - 27*s,
 
           15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,
 
           -9*w + 15*p*t + 20*z*s,
 
           w*p + 2*z*t - 11*b**3,
 
           99*w - 11*b*s + 3*b**2},
 
          {w,p,z,t,s,b});


btbas := {

17766149161458472422166115589155691471353640232570952361584640
                                                              *w + 

3032932981764169411024286535087872715152793150994240000000000000
                                                                  9
                                                                *b  +

           

11886822444254795859791802829918904596379497649520730600000000000
                                                                   8
                                                                 *b  

          + 

18842475008351431516615767365088235858572104823839818660000000000
                                                                   7
                                                                 *b  

          + 

18478618789454571665641479626067848900525899492180377333740000000
                                                                   6
                                                                 *b  

          + 

11752365113063961011548983119538614396423298749092231098450400000
                                                                   5
                                                                 *b  

          + 

5110161259755495688253057699488605142801193206234091633443430000
                                                                  4
                                                                *b  +

           

1496961750963944475883560598484727796781670457510019079125319720
                                                                  3
                                                                *b  +

           

288690575257721822668492218552623049380964882774348400629792405
                                                                 2
                                                               *b  + 

36675221781192845731725910375461662443650512572339688148737880
                                                              *b + 

1576363174251807401047861085627012261518448811764870474808048
                                                             ,


1079293561558602199646591522041208256884733644128685355966266880
                                                                *p + 

3268477702530974927415861070452491173139572636038856000000000000000

            9
          *b  + 

12885633343818230635528913313274512975854362843839764665000000000000

            8
          *b  + 

20548731096300848092222002490748474767709483225818633322500000000000

            7
          *b  + 

20182049540868333737979937480097593847242554499522522583343500000000

            6
          *b  + 

12840592651209104850152262711039251760751322701157046861979660000000

            5
          *b  + 

5569707184558884260455460870514004047533638259197462099687709750000

            4
          *b  + 

1626104523905067336734029117969017435050069455164231436772691393000

            3
          *b  + 

317837165064133808425156860561547977935248864650364953213370433325
                                                                    2
                                                                  *b

           + 

38814916107963233682867824475195786374043607759221055124383464600
                                                                 *b +

           

1271557117681971715777755868970298734422034654142333039426477936
                                                                ,


79947671226563125899747520151200611621091381046569285627130880
                                                              *z - 

207000360174268878618253807286221414267374039050881600000000000000
                                                                    9
                                                                  *b

           - 

816930976846005632807581869594187232031930825060787069000000000000
                                                                    8
                                                                  *b

           - 

1304191848597021137419209873493260430019068809677834324500000000000

            7
          *b  - 

1281648951757969533154633755921969360988365079018184794999100000000

            6
          *b  - 

816111850476984294981540451378918253659030380648143145999676000000
                                                                    5
                                                                  *b

           - 

354123157925898223808181474698490366723104830470028121053590350000
                                                                    4
                                                                  *b

           - 

103524414072393919562685172085266423030522292688870620316927889800
                                                                    3
                                                                  *b

           - 

20314259597530323830287024948271996904872237353588201428371308545
                                                                   2
                                                                 *b  

          - 

2537917907646239051588678539186026277776904294491429226344955896
                                                                *b - 

101754994043218022355542895254001231074817584410141704072917808
                                                               ,


53964678077930109982329576102060412844236682206434267798313344
                                                              *t - 

232158787821822686686268803096828213303267879649894080000000000000
                                                                    9
                                                                  *b

           - 

914339994087255788035842922803409884324637299732580010200000000000
                                                                    8
                                                                  *b

           - 

1456553024942306848445635398194494646048613632462079804220000000000

            7
          *b  - 

1429773468085320579659912540829309032262384742022357855878580000000

            6
          *b  - 

908944691139155009098308941935669674404431611232759364790656800000
                                                                    5
                                                                  *b

           - 

394123305458525780887811122985868682566594060374758630590008810000
                                                                    4
                                                                  *b

           - 

114919063563435384108358931167592408356874179358918284670595993240
                                                                    3
                                                                  *b

           - 

22376181506466478409426169614162075694852682500804198791108921475
                                                                   2
                                                                 *b  

          - 

2945714266609139709176973289117451707834537151497408879223183208
                                                                *b - 

127343046946408668687682889109197718306724189305639804298381200
                                                               ,


23984301367968937769924256045360183486327414313970785688139264
                                                              *s - 

93385077215170712211881744870071176375416361029681600000000000000
                                                                   9
                                                                 *b  

          - 

368160952680520875300826094664986085024410366966850419000000000000
                                                                    8
                                                                  *b

           - 

587106602751452802634914356878527850505985235023389523500000000000
                                                                    7
                                                                  *b

           - 

576629986881952392513712499431359824206930128557786359524100000000
                                                                    6
                                                                  *b

           - 

366874075748831567147207506029692907450037791461629910342276000000
                                                                    5
                                                                  *b

           - 

159134490987396693155870310586114401358103950262784631419648850000
                                                                    4
                                                                  *b

           - 

46460129254430495335257974799114783858573413004692326764934039800
                                                                   3
                                                                 *b  

          - 

9081061858975251669290196016044227941007110418581855806096298095
                                                                  2
                                                                *b  -

           

1222066452390803097568723620648006189979646603457892421797898376
                                                                *b - 

60999770483681527871286545331521866855137759127008037834271184
                                                              ,

                                10                          9
          43808000000000000000*b   + 189995300000000000000*b

                                    8                          7
           + 343169730200000000000*b  + 377900184178000000000*b

                                    6                          5
           + 277427432368460000000*b  + 141636786601439800000*b

                                   4                         3
           + 50921375336016834000*b  + 12792266529459977340*b

                                  2
           + 2215667232541084905*b  + 237653554658069880*b

           + 8984801833047216}

 
 
hilbertpolynomial(ws,gvarslast);


10


% end of the classical Groebner test series
 



% Example of Groebner with numerical postprocessing

on rounded;


groesolve(trinkspolys,trinksvars);


{{t= - 0.981721*i - 0.922,

  w=0.063015875*i - 0.0139,

  z=0.541715416667*i - 0.122333333333,

  p= - 0.685435833333*i + 0.196666666667,

  s= - 0.9949875*i - 0.78,

  b=-0.33 - 0.397995*i},

 {t=0.981721*i - 0.922,

  w= - 0.063015875*i - 0.0139,

  z= - 0.541715416667*i - 0.122333333333,

  p=0.685435833333*i + 0.196666666667,

  s=0.9949875*i - 0.78,

  b=-0.33 + 0.397995*i}}

off rounded;



% additional groebner operators

preduce(45*p + 35*s - 165*b - 36,btbas,{w,p,z,t,s,b});


0

 
gsplit(2*u0*u2 + u1**2 + 2*u1*u3 - u2,{u0,u1,u2,u3});


           2
{2*u0*u2,u1  + 2*u1*u3 - u2}


gsort(trinkspolys,trinksvars);


                   3
{w*p + 2*z*t - 11*b ,

                    2
 99*w - 11*s*b + 3*b ,

  - 9*w + 15*p*t + 20*z*s,

                                    2
 15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b ,

 35*p + 40*z + 25*t - 27*s,

 45*p + 35*s - 165*b - 36,

  2    33       2673
 b  + ----*b + -------}
       50       10000

 
gspoly(first trinkspolys, second trinkspolys,trinksvars);


360*z + 225*t - 488*s + 1155*b + 252


gvars(trinkspolys);


{b,p,s,t,w,z}


% tagged basis and reduction trace

bas := groebner(trinkspolys,trinksvars)$


names := for i:= 1:length bas collect mkid(p,i);


names := {p1,

          p2,

          p3,

          p4,

          p5,

          p6}


taggedbas := for i:= 1:length bas collect 
               part(names,i) = part(bas,i);


taggedbas := {p1=9500*b + 60000*w + 3969,

              p2= - 3100*b + 1800*p - 1377,

              p3=24500*b + 18000*z + 10287,

              p4= - 1850*b + 750*t + 81,

              p5= - 500*b + 200*s - 9,

                        2
              p6=10000*b  + 6600*b + 2673}

preducet(new=w*p + 2*z*t - 11*b**3,taggedbas,trinksvars);


0=9500*b*p2 + 392000*b*p4 + 118800*b*p6 + 108000000*new - 1800*p*p1

 + 3969*p2 - 12000*p3*t + 164592*p4 - 2943*p6


% representing the basis as combination of the input polynomials

groebnert({circle=x**2 + y**2 - r**2,line = a*x + b*y},{x,y});


{ - a*x - b*y= - line,

   2    2   2    2  2  2
 (a  + b )*y  - a *r =a *circle - a*line*x + b*line*y}


% dimension and independent sets

% example from Jarmo Hietarinta

 eqsl:={ Q*AX - Q*LX - MX, 
       - Q*GX + AX - LX,
         Q**2*BX + Q*CX - Q*JX - NX,
         Q*( - Q*AX + Q*LX + MX),
         Q*(Q*GX - AX + LX)}$



bas:= groebner(eqsl,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});


bas := {ax - gx*q - lx,

        bx*mx + cx*gx*q - gx*jx*q - gx*nx,

            2
        bx*q  + cx*q - jx*q - nx,

            2
        gx*q  - mx}


Gindependent_sets(bas,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});


{{cx,jx,lx,mx,nx,q},{cx,gx,jx,lx,mx,nx},{bx,cx,gx,jx,lx,nx}}


Gdimension(bas,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});


6


groesolve(bas,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});


{{ax=gx*q + lx,

       - cx*q + jx*q + nx
  bx=---------------------,
               2
              q

         2
  mx=gx*q },

 {ax=lx,mx=0,nx=0,q=0}}


clear eqsl,bas;



end;
(TIME:  groebner 13316 14816)


End of Lisp run after 13.36+2.26 seconds