Synopsis/МатАнал/Интегралы.tex

\documentclass[a4paper, 12pt,TimesNewRoman]{article}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{{./huina/}}
\usepackage {subcaption}
\usepackage{parskip}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{float}
\usepackage[unicode, pdftex]{hyperref}
\author{Забродин Денис Александрович}
\title{\textbf{Интегралы}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents\newpage
	\section{Основные определения, примеры}
		Задача дифференциального исчисления ― нахождение производной или
		дифференциала данной функции.
		
		В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции
		f(x) ищется такая функция F(x), чтобы F'(x) = f(x) или dF = f(x)dx
		
		т.е. другими словами, по данной производной или дифференциалу функции
		требуется восстановить эту функцию.
		
		\textbf{Определение}: Функция F(x) называется
		первообразной по отношению к функции f(x)
		на некотором промежутке, если на этом промежутке:
		\begin{enumerate}
			\item функция F(x) диффференцируема
			\item F'(x) = f(x) или, что то же самое, dF(x) = f(x)dx
		\end{enumerate}
	
		Следующее утверждение сразу следует из определения первообразной
		
		\textbf{Лемма1}: Если F(x) - некоторая первообразная для функции f(x), то F(x) + C также является первообразной для функции f(x)
		
		Верно и обратное утверждение: Пусть $F_1(x)$ и $F_2(x)$ - две первообразные для функции f(x) на промежутке X. Тогда они отличаются только на константу, те $F_1(x) - F_2(x) \equiv const$
		
		\textbf{Доказательство}: Найдем производную от разности этих первообразных: $(F_1(x) - F_2(x))' = F_1'(x) - F_2'(x) = f(x) - f(x) = 0$. Тогда, по теореме об условиях постоянства функции на промежутке, $F_1(x) - F_2(x) \equiv const$
		
		\textbf{Терема о множестве первообразных}: Если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на промежутке X, то {F(x) + C}, где С - произвольная константа, множество всех первообразных функции f(x) на промежутке X
		
		Если даны две первообразные $F_1(x), F_2(x)$ одной и той же непрерывной функции f(x) на некотором промежутке, то всюду на этом промежутке $F_1(x) = F_2(x) + const$
		
		\textbf{Замечание}: Существование первообразной для данной функции не означает, что эта
		первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции.
		
		Операция перехода к первообразной имеет свое название -
		неопределенное интегрирование, и обозначение: $\int_{}^{}f(x)dx$
		
		\textbf{Определение}. Совокупность всех первообразных
		функции f(x) называется её неопределенным интегралом и обозначается $\int_{}f(x)dx = F(x) + C$, где С $\in$ $\mathbb{R}$, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией.
		
		\textbf{Утверждение}: Дифференцирование и неопределенное интегрирование взаимообратные операции с точность до постоянной C
		
		Доказательство:
		
		$d\int_{}f(x)dx = d(F(x) + C) = F'(x)dx = f(x)dx$
		
		$\int_{}dF(x) = \int_{}F'(x)dx = F(x) + C$
		
		Следствие: Производная от неопределнного интеграла
		равна подынтегральной функции.
		
		Доказательство:
		
		$(\int_{}f(x)dx)' = (F(x) + C)' = F'(x) = f(x)$
		
		\textbf{Теорема о существовании первообразной и неопределенного
		интеграла у непрерывной функции.}:
	
		Если функция f(x) $\in$ C(a, b), то на (a, b) существует первообразная
		F(x) для данной функции и неопределенный интеграл.
		
		\section{Свойство неопределенного интеграла}
			\begin{enumerate}
				\item Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная
				
				$\int_{}dF(x) = F(x) + C$
				
				\textbf{Доказательство}: $\int_{}dF(x) = \int_{}F'(x)dx = F(x) + C$
				\item Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению
				
				$d(\int_{}f(x)dx) = f(x)dx$
				
				\textbf{Доказательство}: $d(\int_{}f(x)dx) = d(F(x) + C) = F'(x)dx = f(x)dx$
				
				\item (свойство линейности неопределенного интеграла)
				
				$\int_{}(c_1f_1(x) + c_2f_2(x))dx = c_1\int_{}f_1(x)dx + c_2\int_{}f_2(x)dx$
				
				 Это свойство проверяется дифференцированием левой и правой части равенства
				 с использованием свойств линейности дифференцирования.
			\end{enumerate}
		
		\section{Методы интегрирования }
			\subsection{Замена переменной в неопределенном интеграле}
				Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого
				
				$\int_{}f(x)dx = F(x) + C \Rightarrow \int_{}f(x+a)dx = F(x+a) + C$
				
				\textbf{Доказательство}: $\frac{d}{dx}F(x) = f(x) \Rightarrow \frac{d}{dx}F(x+a) = (F(x+a))' \cdot (x+a)' = f(x+a)$
				
				 Подведение под знак дифференциала постоянного множителя
				 
				 $\int_{}f(x)dx = F(x) + C \Rightarrow \int_{}f(ax)dx = \frac{1}{a}F(ax) + C$
				 
				 Доказательство: $\frac{d}{dx}(F(x)) = f(x) \Rightarrow \frac{d}{dx}(\frac{1}{a}(ax)) = \frac{1}{a}(F(ax))' \cdot (ax)' = \frac{1}{a}af(ax)$
				 
				 Подведение под знак дифференциала. Если $\int_{}f(x)dx = F(x) + C$, то $\int_{}f(\phi(x))\phi'(x)dx = \int_{}f(\phi(x))d\phi(x) = F(\phi(x)) + C$
		\subsection{Интегрирование по частям}
			По правилу дифференцирования произведения
			
			duv = udv + vdu $\Rightarrow$ udv = duv - vdu,
			
			Откуда $\int_{}udv = uv - \int_{}vdu$
			
	\section{Определенный интеграл. Интеграл Римана}
		\subsection{Определенный игтреграл как предел интегральной суммы}
			\textbf{Определение}. Интегральная сумма
			
			Рассмотрим функцию y = f(x) , определенную и непрерывную на [a,b]. Разобьем [a,b]  произвольным образом на n частей точками $x_1,x_2,...,x_{n-1}~a = x_0 < x_1 <...<x_n = b$  и на каждом полученном отрезке $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$ произвольно выберем точку $\epsilon_i$ и вычислим значение функции
			в это точке. Составим сумму,
			\[f(\epsilon_0) \cdot \Delta x_0 + f(\epsilon_1) \cdot \Delta x_2 + ... + f(\epsilon_{n-1})\cdot x_{n-1} = \sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\epsilon_i)\cdot \Delta x_i\]
			
			называемую интегральной суммой Римана для функции y = f(x) на отрезке
			[a; b].
			
			\textbf{Определение}. Разбиение отрезка
			
			Совокупность точек деления отрезка $x_0, x_1,...,x_n$ и промежуточных точек $\epsilon_0,...,\epsilon_n$ будем называть разбиением отрезка, и обозначать буквой Т. Каждому разбиению соответствует определенная интегральная сумма.
			Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений. Обозначим через $d_T = max_i|\Delta x_i|$ - диаметр разбиения. Устремим $n \rightarrow \infty$, тогда, $d_T \rightarrow 0$ и все $\Delta x_i \rightarrow 0$ , и возьмем предел интегральной суммы : $\lim\limits_{n \rightarrow \infty~d_T \rightarrow 0}\sum\limits_{i = 1}^{n-1}f(\epsilon_i)\cdot x_i$
			
			$f(\epsilon_0)\cdot \Delta x_0 + f(\epsilon_1) \cdot x_1 ... + f(\epsilon_{n-1}) \cdot \Delta x_{n-1} = \sum\limits_{i = 0}^{n-1}f(\epsilon_i)\cdot \Delta x_i$
			
			\textbf{Определение} 3. Определенный интеграл.
			
			Определенным
			интегралом
			Римана функции y = f(x) на отрезке [a; b] называют число равное $J = \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{d_T \rightarrow 0}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}f(\epsilon_i)\cdot \Delta x_i$
			
			те при $n \rightarrow \infty$ и $d_T \rightarrow 0$  в предположении, что этот предел существует и не зависит от
			разбиения Т отрезка [a; b], т.е. от выбора точек $x_1,...,x_{n-1}$ и $\epsilon_i$
			
			\textbf{Определение}. Если существует $\int_{a}^{b}f(x)dx$, функция f(x) называется интегрируемой на [a,b]
			
			\textbf{Теорема} существования определенного интеграла
			
			Напомним: функция называется кусочно-непрерывной на [a; b], если этот отрезок можно
			разбить на конечное число частей, на каждой из которых функция непрерывна.
			Теорема существования формулируется так:
			
			Если функция y = f(x) ограничена и кусочно-непрерывна на [a; b], то она интегрируема на
			этом отрезке. 
			
			\textbf{Следствие}
			
			Интегрируемость непрерывной функции является частным случаем этой теоремы.
			
			\subsection{Геометрический смысл определенного интеграла (для f(x) > 0)}
				На рисунке $f(\epsilon_i)\Delta x_i$ - площадь выделенного прямоугольника, $S_n$ сумма площадей прямоугольнов, те площадь фигуры, ограниченной ломаной линией, прямыми x = a, x = b и осью Ox.
				
				Если max $\Delta x_i \rightarrow 0$, то ломаная стремится к графику y = f(x), и $S_n \rightarrow S$ (S - площадь криволинейной трапеции).
				
				\textbf{Вывод}. Интеграл $\int_{a}^{b}f(x) dx$, где f(x) > 0, численно равен площади S кирволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, прямыми x = a, x = b и осью Ox. 
				\[\int_{a}^{b}f(x)dx = S\]
				
			\subsection{Свойства определенного интеграла}
				\begin{enumerate}
					\item Если y = f(x) $\geq$ 0 и a < b, то $\int_{a}^{b}f(x) dx = S > 0$ есть площадь криволинейной трапеции.
					\item $\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$, тк все $\Delta x_i$ = 0
					\item $\int_{a}^{b}dx = b -a$, тк интегральная сумма имеет вид $\sum\Delta x_i = \Delta x_0 + ... + \Delta x_{n-1} = b-1$
					\item $\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$, тк все $\Delta x_i$ меняют знак, если разбиение отрезка начинать от точки b
				\end{enumerate}
			
				\textbf{Свойство линейности определенного интеграла}
				
				Если $f_1$ и $f_2$ интегрируемы на [a,b] и A,B - произвольные числа, то 
				\[\int_{a}^{b}(Af_1 + Bf_2)dx = A\int_{a}^{b}f_1dx + B\int_{a}^{b}f_2dx\]
				
				\textbf{Доказательство}. Для интеграла в чевой части 
				
				$S_n = \sum\limits_{i = 1}^{n}(Af_1(\epsilon_i) + Bf_2(\epsilon_i))\Delta x_i = \sum\limits_{i = 1}^{n}Af_1(\epsilon_i)\Delta x_i + \sum\limits_{i=1}^{n}Bf_2(\epsilon_i)\Delta x_i =$
				
				$= A\sum_{i = 1}^{n}f_1(\epsilon_i)\Delta x_i + B\sum_{i = 1}^{n}f_2(\epsilon_i)\Delta x_i$
				
				По условию $\sum\limits_{i = 1}^{n}f_1(\epsilon_i)\Delta x_i \rightarrow \int_{a}^{b}f_1(x)dx$
				
				$\sum\limits_{i=1}^{n}f_2(\epsilon_i)\Delta x_i \rightarrow \int_{a}^{b}f_2(x)dx$
				
				Таким образом, существует предел правой части $A\int_{a}^{b}f_1dx + B\int_{a}^{b}f_2dx$ при max $\Delta x_i \rightarrow 0$. Следовательно, существует предел левой части при max $\Delta x_i \rightarrow 0$. Последений есть $\int_{a}^{b}(Af_1 + Bf_2)dx$, что и требовалось доказать.
				
				\textbf{Свойство аддитивности определенного интеграла}
				
				Если $c \in [a,b],~~~~a < c < b,$ то $\int_{a}^{b}f(x) dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$
				
				При условии, что все три интеграла существуют
				
				\textbf{Интегрирование неравенства}
				Если: 1) функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке 
				
				2)f(x) $\leq$ g(x) для любого значения х из этого отрезка
				[a; b]
				
				то $\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)dx$
				
				\textbf{Доказательство}: тк f(x) $\leq$ g(x), то g(x) - f(x) $\geq$, $\Rightarrow$ по свойству 1 $\int_{a}^{b}[g(x) - f(x)]dx \geq 0$, $\Rightarrow$ по свойству линейности $\int_{a}^{b}g(x)dx - \int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0$ $\Rightarrow$ $\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)dx$
				
				Свойства определенного интеграла
				
				Если:
				\begin{enumerate}
					\item функция y = f(x) непрерывна на [a,b]
					\item M = $max_{[a,b]}f(x),~~m = min_{[a,b]}f(x)$
				\end{enumerate}
			
				то m(b-a) $\leq$ $\int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)$
				
				Доказательство: Для непрерывной функции справедливо нерпвенство $m \leq f(x) \leq M$, которое можно проинтегрировать на отрезке [a,b]
				
				При этом в силу свойства интегрирования неравенств: $\int_{a}^{b}mdx \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}Mdx$
				
				Применяя свойство ($\int_{a}^{b}dx = b- a$) и св-во линейности получим требуемое неравенство.
				
				\textbf{Теорема о среднем для определенного интеграла}
				
				Если функция  y = f(x) непрерывна на [a; b]
				
				То на этом отрезке найдется хотя бы одна точка c $\in$ [a; b] такая что $\int_{a}^{b}f(x)dx = f(c)(b-a)$
				
				т.е. определенный интеграл равен произведению длины отрезка
				интегрирования на значение подынтегральной функции в
				специальным образом выбранной внутренней точке.
				
				\textbf{Доказательство}: $m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)$ (интегрирование неравенств)
				
				По свойству непрерывных на отрезке функций можно утверждать, что функция
				y = f(x)
				примет все промежуточные значения от m до M, т.е. найдется такая точка c $\in$ [a; b], что
				
				$f(c) = \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b - a}$
				
				Геометрически теорему можно интерпретировать
				следующим образом: если функция f(x) $\geq$ 0 на [a; b],
				то площадь криволинейной трапеции, выражаемая
				определенным
				интегралом,
				равна
				площади
				прямоугольника, опирающегося на [a; b] со
				специально выбранной высотой f(c) – см. рисунок.
				
				%рисунок
				
			\textbf{	Переменную интегрирования можно обозначать произвольно, те}
			
			$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(z)dz = \int_{a}^{b}f(t)dt$
			
		\section{Интеграл с переменным верхним пределом}
			Рассмотрим функцию f(x), интегрируемую на [a,b]
			
			Пусть x - произвольная точка отрезка [a,b]
			
			Из интегрируемости f(x) на [a,b] следует интегрируемость f(x) на [a,x]. Можно сказать, что на отрезке [a,b] задана функция F(x): $F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$
			
			Функция F(x) называется интегралом с перемнным верхним пределом
			
			Геометрически интеграл с переменным верхним пределом можно представить в виде
			меняющейся площади криволинейной трапеции (заштрихованная область на рисунке).
			
			\textbf{Теорема(о непрерывности интеграла по верхнему пределу)}
			
			Если функция y = f(x)  - непрерывна на [a; b], то функция
			
			$\Phi(x) = \int_{a}^{x}f(x)dx$  непрерывна на[a; b].
			
			$\Delta \Phi (x) = \Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) = \int_{a}^{x + \Delta x}f(x) dx - \int_{a}^{x}f(x)dx = \int_{x}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{x + \Delta x}f(x)dx = \int_{x}^{x + \Delta x}f(x)dx = \text{По теореме о среднем} = f(c)\Delta x$
			
			$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta \Phi(x) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}f(c)\Delta x = 0 \Rightarrow \Phi(x) \in C[a,b]$
			
			 \textbf{Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом
			 (или о существовании первообразной у непрерывной функции)}
		 
		 	Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b], то функция Ф(х) = $\int_{a}^{x}f(x)dx$ является
		 	aпервообразной для y = f(x), т.е. $\Phi'(x) = f(x)$ или, другими словами, производная интеграла с
		 	переменным верхним пределом по этому пределу равна подынтегральной функции.
		 	
		 	\textbf{Доказательство}:
		 	
		 	Запишем приращение функции Ф (х) используя формулу:
		 	
		 	$\Delta \Phi = f(c) \cdot \Delta x, c \in [x, x + \Delta x]$ тогда при $\Delta$ x $\rightarrow$ 0~~~~c $\rightarrow$ x, те
		 	
		 	$\Phi'(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\Delta \Phi (x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}f(c) = f(x)$
		 	
		 \section{Формула Ньютона-Лейбница
		 	(основная теорема интегрального исчисления)}
	 	
	 		\subsection{Основная теорема интегрального исчисления.}
	 		
	 		Если функция y = f(x) непрерывна на [a,b] и $\int f(x)dx = F(x) + C$, то $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$
	 		
	 		\textbf{Доказательство}. Согласно предыдущей теореме у непрерывной функции y = f(x) существует первообразная Ф(х) = $\int_{a}^{x}f(x)dx$ $\Rightarrow$ 
	 		
	 		первообразная F(x), отличается от Ф (х) на константу: 
	 		
	 		$\Phi = \int_{a}^{x}f(x)dx = F(x) + C$, $\forall x \in [a,b]$
	 		
	 		При x = a~~~~$\int_{a}^{a}f(x)dx = 0 = F(a) + C$, те C = -F(a)
	 		
	 		При x = b~~~~$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(x) + С = F(b) - F(a)$
	 		
	 		\textbf{Правило}
	 		
	 		Для вычисления определеного интеграла нужно:
	 		\begin{enumerate}
	 			\item найти F(x)
	 			\item вычислить F(b) - F(a)
	 		\end{enumerate}
 		
 		\section{Замена переменной в определенном интеграле}
 			\textbf{Теорема}.
 			
 			Если 
 			\begin{enumerate}
 				\item f(x) непрерывна на [a,b]
 				\item x = g(t), x' = g'(t) непрерывна на [$\alpha$, $\beta$] ([a,b] - область значений x = g(t) при изменении t $\in$ [$\alpha$, $\beta$])
 				\item a = g($\alpha$), b = g($\beta$)
 			\end{enumerate}
 		
 			то \[\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g'(t)dt\]
 			
 			\textbf{Доказательство}.
 			
 			Рассмотрим левую часть формулы замены переменной: $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g'(t)dt$
 			
 			\[\int_{a}^{b}f(x)dx = F(a) - F(b)\]
 			
 			Вычислим $F'_t = F'_x = F'(g(t)) \cdot g'(t),~~F'(g(t)) = F'(x) = f(x) = f(g(t))$
 			
 			Таким образом, $F'_t = f(g(t))\cdot g'_t \Rightarrow F(g(t))$ - первообразная для функции f(g(t)) $\cdot$ $g'_t$ на [$\alpha$, $\beta$]
 			
 			Рассмотриим правую часть доказываемой формулы $\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t)) \cdot g'(t)dt = F(g(\beta)) - F(g(\alpha))$
 			
 			Таким образом, $\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))\cdot g'(t)dt = F(b) - F(a)$, что завершает доказательство теоремы
 			
 			\textbf{Замечание} 1. Подчеркнем, что при замене переменной в определенном интеграле особое внимание нужно уделять определению новых пределов интегрирование.
 			
 			\textbf{Замечание} 2. Отметим, что при всей схожести применения формул замены
 			переменной в неопределенном и определенном интегралах, имеется весьма важное
 			их отличие: при вычислении определенного интеграла не нужно возвращаться к
 			исходной переменной, вместо этого просто производится соответствующее
 			изменение пределов интегрирования.
 			
 		\section{Формулы интегрирования по частям в определнном интеграле}
 			\textbf{Теорема}. Если u(x) и v(x) имеют на [a,b] непрерывные производные, то 
 			
 			$\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx = (u(x)v(x))|_a^b - \int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx,$ или 
 			\[\int_{a}^{b}udv = uv|_a^b - \int_{a}^{b}vdu\]
 			
 			\textbf{Доказательство}. По правилу дифференцирования произведения имеем $(uv)' = u'v + uv'$
 			
 			Выполним почленное мнтегрирование этого равенства на [a,b]
 			
 			$\int_{a}^{b}(u'v + uv')dx = \int_{a}^{b}(uv)'dx \Rightarrow \int_{a}^{b}u'vdx + \int_{a}^{b}uv'dx = \int_{a}^{b}(uv)'dx$
 			
 			Существование каждого из интегралов обеспечено условием теоремы. С учетомсоотношений $u'dx = du$, $v'dx = dv$, $\int_{a}^{b}(uv)'dx = uv|_a^b$ из полученного равенства интегралов следует справедливость доказываетмой формулы $\int_{a}^{b}udv = uv|_a^b - \int_{a}^{b}vdu$
 			
	\section{Несобственные интегралы}
		$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ предполагает, что 1) a,b - конечные числа 2) f(x) - ограничена на [a,b] (необходимое условие интегрируемости)
		
		Если нарушается условие ограниченности по оси Ox, мы получаем несобственный интеграл первого рода, он будет записываться следующим образом
		\[\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx\]
		
		Если нарушается условие ограниченности по оси Oy, мы получаем несобственный интеграл второго рода, он будет заисан в виде
		\[\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\]
		
		но функция f(x) не ограничена в окрестности левого или правого конца [a,b]
		
		\subsection{Несобственный интеграл первого рода}
			Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке a $\leq$ x < +$\infty$ и интегрируема на любой его части
			
			\textbf{Определение}. Несобственным интгералом первого рода функции y = f(x) на промежутке [a,+$\infty$) называется предел определенного интеграла на промежутке [a,b] при b $\rightarrow$ +$\infty$
			\[\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \lim\limits_{b \rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
			
			Если существует конечный предел, интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ называется сходящимся.
			
			В противном случае - расходящимся
			
			Несобственный интеграл с бесконенчыми нижним и верхним пределами определяется через сумму
			\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{+\infty}f(x)dx\]
			
			где c $\in$ $\mathbb{R}$. Интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится, если сходятся инитегралы в правой части равенства
			
		\subsection{Геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов}
			Пусть y = f(x) непрерывна на [a,+$\infty$) и f(x) $\geq$ 0, $\forall x \in [a, +\infty)$
			
			Тогда $\int_{a}^{b}f(x)dx$ - площадь крволинейной трапеции с основанием [a,b], ограниченной сверху кривой y = f(x)
			
			$\Rightarrow$ Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a, +$\infty$) сходистя и равен S, то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой y = f(x) и прямой x = a имеет площадь S. В противном случае говорить о площади указанной области нельзя
			
			\textbf{Геометрически сходимость инетграла означает существование конечной площади под бесконечной кривой}
			
		\subsection{Свойства несобственного интеграла первого рода}
			Переносятся некоторые свойства орпедленных интегралов
			
			Кроме того, для несобсвенных инетгралов существует обобщение формулы Ньютона - Лейбница
			
			Пусть F(x) - первообразная для f(x) на [a, +$\infty$)
			
			Тогда $\forall b \in [a, +\infty]$ имеем
			
			$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$
			
			$\Rightarrow \lim\limits_{b \rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{b \rightarrow +\infty}(F(b) - F(a))$
			
			$\Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \lim\limits_{b \rightarrow + \infty}F(b) - F(a)$
			
			Обозначим $\lim\limits_{b \rightarrow +\infty}F(b) - F(a) = F(x)|_a^{+\infty}$
			
			$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = F(x)|_a^{+\infty} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}F(x) - F(a)$
			
			Формулу называют обобщением формулы Ньютона - Лейбница для несобственных интегралов по промежутку [a, +$\infty$)
			
			Сходимость несобственного интеграла I рода означает, что у первообразной существует предел на бесконечности $\Rightarrow$ Если первообразная находися через элементарные функции, то можно найти такой предел (те вычислить несобственный интеграл) или же убедиться в отсутствии этого предела
			
		\subsection{Признаки сравнения}
\textbf{			Теорема (1-й признак сравнения).}
			\begin{enumerate}
				\item На полупрямой x$\geq$ a заданы две непрерывные функции y = $f_1(x)$ и y = $f_2(x)$
				\item для любого $x \in [a, +\infty), 0\leq f_(x) \leq f_2(x)$, то:
				\begin{enumerate}
					\item Если интеграл $\int_{a}^{+\infty}f_2(x)dx$ сходящийся, то и интеграл $\int_{a}^{+\infty}f_1(x)dx$ также сходящийся
					\item Если интеграл $\int_{a}^{+\infty}f_1(x)dx$ - расходящийся, то и интеграл $\int_{a}^{+\infty}f_2(x)dx$ также расходящийся
				\end{enumerate}
			\end{enumerate}
		
			\textbf{Доказательство}.
			
			Тк $f_2(x) \geq f_1(x)$, то для любого b > a по свойствам определенного интеграла следует: $\int_{a}^{b}f_2(x)dx \geq \int_{a}^{b}f_1(x)dx$. Но интеграл $\int_{a}^{+\infty}f_2(x)dx$ сходящийся, те $\int_{a}^{b}f_1(x)dx \leq \int_{a}^{+\infty}f_2(x)dx$. Кроме того, с ростом b интеграл слева монотонно увеличивается, следовательно, существует $\lim\limits_{b \rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f_1(x)dx$, те интеграл $\int_{a}^{+\infty}f_1(x)dx$ сходится.
			
			Второе утверждение ялвяется следствием доказанного.
			
			\textbf{Теорема (2-й признак срвнения)}
			
			Если на полупрямой x $\geq$ a заданы две неотрицательные функции y = f(x) и y = g(x) и сущствует конечный предел $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = k$, причем k $\neq$ 0; $\infty$, то интегралы $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ и $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно
			
		\subsection{Абсолютно и условно сходящиеся интегралы}
			\textbf{Определение}. Интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx$
			
			\textbf{Определение}. Интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ называется условно сходящимся, если сам интеграл сходится, а интеграл $\int_{a}^{+_\infty}|f(x)|dx$ - расходится
			
\textbf{Теорема( об абсолютной сходимости интегралов)}
			
			Если сходится интеграл $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx$, то и интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ тоже сходится
			
		\section{Несобственный интеграл второго рода}
			\textbf{Определение}. Несобственным интегралом второго рода функции y = f(x) на промежутке [a,b) называется пределе определенного интеграла на промежукте [a, b - $\epsilon$) при $\epsilon$ $\rightarrow$ +0
			\[\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow +0}\int_{a}^{b -\epsilon}f(x)dx\]
			
			Если существует конечный предел, интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся
			
			В противном случае - расходящимся
			
			Вычисление инетграла сводится к вычислению предела
			\[\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow +0}\int_{a}^{b - \epsilon}f(x)dx = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow +0}F(x)|_a^{b-\epsilon} = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow +0}(F(b-\epsilon) - F(a))\]
			
			Если функция y = f(x) нерпрерывна на промежутке a < x $\leq$ b и имеет разрыва второго рода в точке x = a, несобственный интеграл второго рода определяется аналогично предыдущему
			\[\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow +0}\int_{a | \epsilon}^{b}f(x)dx\]
			
			Если функция y = f(x) имеет разрыв второго рода в точке x = c $c \in (a,b)$, несобственный интеграл второго рода на промежутке [a,b] определяется следующим образом
			\[\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\epsilon_1 \rightarrow +0}\int_{a}^{c - \epsilon_1}f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon_2 \rightarrow +0}\int_{c + \epsilon_2}^{b}f(x)dx\]
			
		\subsection{Признак сравнения}
			\textbf{Теорема}. Если на [a,b) определены и непреырны две функции, связанные неравенством $0 \leq f_1(x) \leq f_2(x)$, и интеграл от большей функции сходится, то, следовательно, сходится и интеграл от меньшей функции. Аналогично, если интеграл от меьшей функции расходится, то расходится и интеграл от большей функции.
			
			Аналогично, вводятся понятия абсолютной и условной сходимости для несобственного интеграла II рода
			
	\section{Интегралы смешанного типа}
		 \textbf{Определение}. Пусть функция f(x) определена на прямой -$\infty$ < x < +$\infty$ и интегрируема на каждом сегменте, принадлежащем этой прямой.
		 
		 Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по Коши, если существует конечный предел
		 \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \lim\limits_{B \rightarrow +\infty}\int_{-B}^{+B}f(x)dx\]
		 
		 В этом случае говорят, что интеграл 1 рода сходится в смысле главного значения
		 
		 \textbf{Утверждение}. Если f(x) нечетна, то она интегрируема по Коши и главное значение равно нулю.
		 \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \lim\limits_{B \rightarrow +\infty}\int_{-B}^{+B}f(x)dx = 0\]
		 
		 Если f(x) четная, то она интегрируема по Коши титт, когда сходится несобственный интеграл
		 
		 \textbf{Доказательство}.
		 
		 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \lim\limits_{B \rightarrow +\infty}\int_{-B}^{+B}f(x)dx = 2\lim\limits_{B \rightarrow +\infty}\int_{0}^{+B}f(x)dx$
\end{document}